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$ \ mathbb {r}^{n} $的$ \ mathbb的色数
The Chromatic Number of $\mathbb{R}^{n}$ with Multiple Forbidden Distances
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论文摘要
令$ a \ subset \ mathbb {r} _ {> 0} $为有限的距离集，让$ g_ {a}（\ m athbb {r}^{n}）$是带有顶点的图形，带有顶点的图形， $ \ {（x，y）\ in \ mathbb {r}^{n}：\ \ | x-y \ | _ {2} \ in a \} $，然后让$χ（\ mathbb {r}^{n}，a）=χ\ left（g_ {a}（\ mathbb {r}^{n}）\ right）$。 Erds询问了$ M $ distance色度编号的增长率\ [\barχ（\ Mathbb {r}^{n}; m）= \ max_ {| a | = m}χ（\ MathBb {r}^{n}，a）。 \]我们改善了$ \barχ（\ Mathbb {r}^{n}; m）$的最佳现有下限，并证明\ [\ [\ [\ barBB {\ Mathbb {r}^{n} {n}; m）\ geq \ geq \ left（γ__\ sqrt \ sqrt \ sqrt {m+1}+1}+o（where） $γ_χ= 0.79983 \点$是一个明确的常数。我们的完整结果更为笼统，适用于此图中的集团。令$χ_{k}（g）$表示颜色$ g $所需的最小颜色数量，这样就没有颜色包含$（k+1）$ - clique，然后让$ \ \barχ_{k {k {k {\ mathbb {r}^{n}^{n}; m）$表示最大的价值这是最大的距离$ m $ m $ m $ m $ m $ m $ m的最大价值。使用分区级别方法，我们表明\ [\barχ_{k}（\ Mathbb {r}^{n}; m）> \ left（γ_\ \ sqrt {\ frac {m+1} {m+1} {k}}}}}}}}+o（1）+O（1）+（1）\ right）^n n} {n}。 \]
Let $A\subset\mathbb{R}_{>0}$ be a finite set of distances, and let $G_{A}(\mathbb{R}^{n})$ be the graph with vertex set $\mathbb{R}^{n}$ and edge set $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{n}:\ \|x-y\|_{2}\in A\}$, and let $χ(\mathbb{R}^{n},A)=χ\left(G_{A}(\mathbb{R}^{n})\right)$. Erdős asked about the growth rate of the $m$-distance chromatic number \[ \barχ(\mathbb{R}^{n};m)=\max_{|A|=m}χ(\mathbb{R}^{n},A). \] We improve the best existing lower bound for $\barχ(\mathbb{R}^{n};m)$, and show that \[ \barχ(\mathbb{R}^{n};m)\geq\left(Γ_χ\sqrt{m+1}+o(1)\right)^{n} \] where $Γ_χ=0.79983\dots$ is an explicit constant. Our full result is more general, and applies to cliques in this graph. Let $χ_{k}(G)$ denote the minimum number of colors needed to color $G$ so that no color contains a $(k+1)$-clique, and let $\barχ_{k}(\mathbb{R}^{n};m)$ denote the largest value this takes for any distance set of size $m$ . Using the Partition Rank Method, we show that \[ \barχ_{k}(\mathbb{R}^{n};m)>\left(Γ_χ\sqrt{\frac{m+1}{k}}+o(1)\right)^{n}. \]
