论文标题
有很多一致能量的格子
Lattices with lots of congruence energy
论文作者
论文摘要
1978年，由E.Hückel在量子化学方面的工作激励，I。Gutman介绍了有限简单图$ g $的能量的概念，作为$ g $的邻接矩阵特征值的绝对值之和。在撰写本文时，MathScinet搜索“ title =（Graph Energy）和Review text =（eigenvalue）”返回351个出版物，其中大多数遵循Gutman的定义。 有限代数$ a $ a $ a $的一致性$α$将$ a $变成一个简单的图：我们将$ x \ neq y \连接到边缘iff $（x，y）\inα$中的$ x \ neq y \;我们让en $（α）$成为此图的能量。我们介绍了CE $（a）$ a $ a $ a $ a $ a $ a $（a）：= \ sum \ {$ en $（α）：α\ in $ con $（a）\} $的一致性能量ce $（a）$ a $ a $ a $。令lat $（n）$和cda $（n）$代表$ n $ emlement lattices的类别以及任何类型的$ n $ emlement一致性分布代数。对于类$ \ Mathcal X $，让CE $（\ Mathcal X）：= \ {$ ce $（a）：a \ in \ Mathcal x \} $。我们证明了以下内容。 （1）对于$α\，在$，en $（α）/2 $中是$ a $的等价晶格的高度。 （2）CE（LAT（$ n $））中最大的数字和第二大数字是$（n-1）\ CDOT 2^{n-1} $，对于$ n \ geq 4 $，$（n-1）\ cdot 2^{n-2}这些数字只有链条和格子的目睹，分别是一个恰好有一个两元素抗的抗。 （3）CE（CDA（$ n $））的最大数量也是$（n-1）\ CDOT 2^{n-1} $，如果Ce $（a）=（n-1）=（n-1）\ cdot 2^{n-1} $，用于$ cda $（n）$（n）$，则是con $（a），然后是con $ con $ con $ con $ con $ con $ con $ con $ con $
In 1978, motivated by E. Hückel's work in quantum chemistry, I. Gutman introduced the concept of the energy of a finite simple graph $G$ as the sum of the absolute values of the eigenvalues of the adjacency matrix of $G$. At the time of writing, the MathSciNet search for "Title=(graph energy) AND Review Text=(eigenvalue)" returns 351 publications, most of which going after Gutman's definition. A congruence $α$ of a finite algebra $A$ turns $A$ into a simple graph: we connect $x\neq y\in A$ by an edge iff $(x,y)\inα$; we let En$(α)$ be the energy of this graph. We introduce the congruence energy CE$(A)$ of $A$ by CE$(A):=\sum\{$En$(α): α\in$ Con$(A)\}$. Let LAT$(n)$ and CDA$(n)$ stand for the class of $n$-element lattices and that of $n$-element congruence distributive algebras of any type. For a class $\mathcal X$, let CE$(\mathcal X):= \{$CE$(A): A\in \mathcal X\}$. We prove the following. (1) For $α\in A$, En$(α)/2$ is the height of $α$ in the equivalence lattice of $A$. (2) The largest number and the second largest number in CE(LAT($n$)) are $(n-1)\cdot 2^{n-1}$ and, for $n\geq 4$, $(n-1)\cdot 2^{n-2}+2^{n-3}$; these numbers are only witnessed by chains and lattices with exactly one two-element antichain, respectively. (3) The largest number in CE(CDA($n$)) is also $(n-1)\cdot 2^{n-1}$, and if CE$(A)=(n-1)\cdot 2^{n-1}$ for an $A\in$ CDA$(n)$, then Con$(A)$ is a boolean lattice with size $|$Con$(A)|=2^{n-1}$.
