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在集合$ \ {π（kn）：\ k = 1,2,3，\ ldots \} $
On the set $\{π(kn):\ k=1,2,3,\ldots\}$
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论文摘要
Z.-W。的开放猜想Sun指出，对于任何整数$ n> 1 $，都有一个正整数$ k \ le n $，因此$π（kn）$是PRIME，其中$π（x）$表示不超过$ x $的数量。在本文中，我们表明，对于任何正整数$ n $，set $ \ {π（kn）：\ k = 1,2,3，\ ldots \} $包含无限的许多$ p_2 $ - numbers，它们是最多两个Primes的产品。我们还证明，在贝特曼（Bateman）的猜想下，集合$ \ {π（4k）：\ k = 1,2,3，\ ldots \} $包含无限的许多素数。
An open conjecture of Z.-W. Sun states that for any integer $n>1$ there is a positive integer $k\le n$ such that $π(kn)$ is prime, where $π(x)$ denotes the number of primes not exceeding $x$. In this paper, we show that for any positive integer $n$ the set $\{π(kn):\ k=1,2,3,\ldots\}$ contains infinitely many $P_2$-numbers which are products of at most two primes. We also prove that under the Bateman--Horn conjecture the set $\{π(4k):\ k=1,2,3,\ldots\}$ contains infinitely many primes.
