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在Lerch的四边形Zeta功能的配方和零上
On Lerch's formula and zeros of the quadrilateral zeta function
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论文摘要
令$ 0 <a \ le 1/2 $，然后将四边形zeta功能定义为$ 2q（s，a）：=ζ（s，a） +ζ +ζ（s，1-a） + {\ rm {li}}} _ s（e^{2πia}） $ζ（s，a）$是hurwitz zeta函数，$ {\ rm {li}} _ s（e^{2πia}）$是定期的zeta函数。 在本文中，我们表明存在一个唯一的实际数字$ a_0 \ in（0,1/2）$ in（0,1/2）$，因此$ q（σ，a_0）$在$σ= 1/2 $ n $σ\ in（0,1）$时具有唯一的双重零零，以$ q（a_0,1/2] $ $ q（a_0,1/2）$ q（0,1）$ quartal $ q（$ q q） （0,1）$，对于任何$ a \ in（0，a_0）$，函数$ q（σ，a）$在（0,1）$中至少具有两个真实的零。 此外，我们证明$ q（s，a）$在{\ mathbb {q}}} $ a \ in {\ mathbb {q}}} \ cap（0,1/2）\ setMinus \ {1/6，1/6，1/6，1/4，1/3 \} $中时具有无限的许多复杂零。还显示了$ q（s，a）$的Lerch公式，Hadamard产品配方，Riemann-Von Mangoldt公式。
Let $0 < a \le 1/2$ and define the quadrilateral zeta function by $2Q(s,a) := ζ(s,a) + ζ(s,1-a) + {\rm{Li}}_s (e^{2πia}) + {\rm{Li}}_s(e^{2πi(1-a)})$, where $ζ(s,a)$ is the Hurwitz zeta function and ${\rm{Li}}_s (e^{2πia})$ is the periodic zeta function. In the present paper, we show that there exists a unique real number $a_0 \in (0,1/2)$ such that $Q(σ, a_0)$ has a unique double real zero at $σ= 1/2$ when $σ\in (0,1)$, for any $a \in (a_0,1/2]$, the function $Q(σ, a)$ has no zero in the open interval $σ\in (0,1)$ and for any $a \in (0,a_0)$, the function $Q(σ, a)$ has at least two real zeros in $σ\in (0,1)$. Moreover, we prove that $Q(s,a)$ has infinitely many complex zeros in the region of absolute convergence and the critical strip when $a \in {\mathbb{Q}} \cap (0,1/2) \setminus \{1/6, 1/4, 1/3\}$. The Lerch formula, Hadamard product formula, Riemann-von Mangoldt formula for $Q(s,a)$ are also shown.
